[31일차] ASAC 빅데이터 분석가 4기(수학-2)

📌 선형대수

• Span : 벡터공간 V를 V의 모든 벡터 v1,v2,...vn의 선형결합으로 나타낼 수 있으면, v1,v2,...vn이 벡터공간 V를 생성(span)한다고 한다.
• Rank : 간단히 Column이나 Row의 벡터의 수(차원)를 나타낸다.
• Null Space : 선형방정식 Ax = 0을 이루는 모든 해 x에 대한 집합이다.

---

📌 선형변환

•  변환
  • 일대일 변환 : 변환 T : R1 → R2에 대하여 b ∈ R2에 대해 T(x) = b를 만족하는 R1의 원소가 기껏해야 하나 있는 경우
  • 위로의 변환 : 변환 T : R1 → R2에 대하여 b ∈ R2에 대해 T(x) = b를 만족하는 R1의 원소가 적어도 하나 있는 경우
  • 닮음 변환 : 점 (x, y)를 x방향, y방향으로 모두 k배한 점 (kx, ky)에 대응시키는 변환
  • 대칭 변환 : 점 (x, y)를 x축, y축, 원점 그리고 y=x에 대해 대칭이동하는 변환
  • 회전 변환 : 점 (x, y)를 원점 O를 중심으로 각 𝚹만큼 반시계방향으로 회전시키는 변환
  • 합성 변환 : x ∈ R1, y ∈ R2, z ∈ R3에 대하여 T(x) = y, U(y) = z를 만족하는 두 선형변환 T : R1 → R2, U : R2 → R3의 합성변환은 (U◦T)(x) = U(T(x))이다.

---

📌 벡터공간과 기저

• 벡터공간 : 공집합이 아닌 집합 V가 임의의 u, v, w ∈ V와 임의의 스칼라 c, d에 대하여 다음 조건을 만족하는 경우
  
  1. 덧셈 u + v도 V의 원소이다.
  2. u + v = v + u (덧셈에 대한 교환법칙)
  3. (u + v) + w = u + (v + w) (덧셈에 대한 결합법칙)
  4. u + 0 = u인 항등원 0 ∈ V가 존재한다. (덧셈에 대한 항등원)
  5. u + (-u) = 0인 역원 -u ∈ V가 존재한다. (덧셈에 대한 역원)
  6. 스칼라곱 cu도 V의 원소이다.
  7. c(u + v) = cu + cv (스칼라곱의 분배법칙)
  8. (c + d)u = cu + du (스칼라곱의 분배법칙)
  9. c(du) = (cd)u (스칼라곱의 결합법칙)
  10. 1u = u (스칼라곱에 대한 항등원)
• 부분공간 : 벡터공간 V의 부분집합 H가 다음 3가지 조건을 만족하는 경우
  1. H가 0을 포함한다.
  2. 임의의 u, v ∈ H에 대해 덧셈 u + v도 H의 원소이다.
  3. 임의의 스칼라 c와 임의의 u ∈ H에 대하여, 스칼라곱 cu도 H의 원소이다.
• 기저 : H를 벡터공간 V의 부분공간이라 할 때, B = { b1, b2,..., bn }이 다음을 만족하는 경우
  1. B는 선형독립집합이다.
  2. B에 의해 생성된 부분공간이 H와 일치한다. 즉, H = span{ b1, b2, ..., bn }

---

📌 고윳값과 고유벡터

• 고윳값과 고유벡터 : n * n 정사각행렬 A가 어떤 스칼라 λ와 0이 아닌 벡터 x에 대하여 Ax = λx를 만족할 때, λ를 행렬 A의 고윳값이라 하고, x를 λ에 대응하는 고유벡터라고 한다.

---

📌 행렬의 대각화

• 행렬의 대각화 : 행렬 A ∈ 정방행렬 R이 대각행렬과 닮음관계일 때, 행렬 A를 대각화 가능한 행렬이라고 한다.
• 선형방정식과 가역행렬
  • 행렬 A ∈ 정방행렬 R에 대해 다음 세 명제는 동치이다.
    1. 행렬 A ∈ R이 가역행렬이다.
    2. 선형방정식 Ax = 0의 해는 x = 0 뿐이다.
    3. A의 열벡터 또는 행벡터는 서로 선형독립이다.
• 대각화 정리
  • 행렬 A ∈ 정방행렬 R에 대해 다음 두 명제는 동치이다.
    1. 행렬 A는 대각화 가능한 행렬이다.
    2. 행렬 A는 n개의 고유벡터를 가지고, 이 고유벡터들은 서로 선형독립이다.